An Overlapping Preconditioner for 2D Virtual Problems Posed in H(rot) with Irregular Subdomains

Abstract

Given a bounded polygonal domain Ω R2, we seek 𝒖 2 𝐻0 ¹rot;Ωº such that 𝑎¹𝒖 𝒗º := ∫ Ω ¹𝛼 rot 𝒖 rot 𝒗 ¸ 𝛽𝒖 𝒗º = ∫ Ω 𝒇 𝒗 8𝒗 2 𝐻0 ¹rot;Ωº (1) where rot 𝒖 := 𝜕𝑥1𝑢2 􀀀 𝜕𝑥2𝑢1, 𝒇 2 »𝐿2 ¹Ωº¼2, and 𝛼 𝛽 2 𝐿1¹Ωº are positive functions that are uniformly bounded from below. The weak form (1) arises from implicit time integration of the eddy current model of Maxwell’s equation [5] and is considered in several studies; see, e.g., [1, 13]. We recall that 𝐻0 ¹rot;Ωº := { 𝒗 2 »𝐿2 ¹Ωº¼2 : rot 𝒗 2 𝐿2 ¹Ωº 𝒗 𝒕 = 0 on 𝜕 Ω }Dado un dominio poligonal acotado Ω R2, buscamos 𝒖 2 𝐻0 ¹rot;Ωº tal que 𝑎¹𝒖 𝒗º := ∫ Ω ¹𝛼 rot 𝒖 rot 𝒗 ¸ 𝛽𝒖 𝒗º = ∫ Ω 𝒇 𝒗 8𝒗 2 𝐻0 ¹rot;Ωº (1) donde rot 𝒖 : = 𝜕𝑥1𝑢2 􀀀 𝜕𝑥2𝑢1, 𝒇 2 "𝐿2 ¹Ωº¼2, y 𝛼 𝛽 2 𝐿1¹Ωº son funciones positivas que están uniformemente acotadas desde abajo. La forma débil (1) surge de la integración temporal implícita del modelo de corrientes parásitas de la ecuación de Maxwell [5] y se considera en varios estudios; véase, por ejemplo, [1, 13]. Recordamos que 𝐻0 ¹rot;Ωº := { 𝒗 2 "𝐿2 ¹Ωº¼2 : rot 𝒗 2 𝐿2 ¹Ωº 𝒗 𝒕 = 0 en 𝜕 Ω }