A Microscopic Model for a One Parameter Class of Fractional Laplacians with Dirichlet Boundary Conditions

Abstract

We prove the hydrodynamic limit for the symmetric exclusion process with long jumps given by a mean zero probability transition rate with infinite variance and in contact with infinitely many reservoirs with density α at the left of the system and β at the right of the system. The strength of the reservoirs is ruled by κN−θ > 0. Here N is the size of the system, κ > 0 and θ ∈ R. Our results are valid for θ ≤ 0. For θ = 0, we obtain a collection of fractional reaction–diffusion equations indexed by the parameter κ and with Dirichlet boundary conditions. Their solutions also depend on κ. For θ < 0, the hydrodynamic equation corresponds to a reaction equation with Dirichlet boundary conditions. The case θ > 0 is still open. For that reason we also analyze the convergence of the unique weak solution of the equation in the case θ = 0 when we send the parameter κ to zero. Indeed, we conjecture that the limiting profile when κ → 0 is the one that we should obtain when taking small values of θ > 0

Demostramos el límite hidrodinámico para el proceso de exclusión simétrica con saltos largos dado por una tasa de transición de probabilidad cero media con varianza infinita y en contacto con infinitos reservorios con densidad α a la izquierda del sistema y β a la derecha del sistema. La fuerza de los reservorios se rige por κN − θ> 0. Aquí N es el tamaño del sistema, κ> 0 y θ ∈ R. Nuestros resultados son válidos para θ ≤ 0. Para θ = 0, obtenemos una colección de ecuaciones fraccionales de reacción-difusión indexadas por el parámetro κ y con las condiciones de contorno de Dirichlet. Sus soluciones también dependen de κ. Para θ <0, la ecuación hidrodinámica corresponde a una ecuación de reacción con condiciones de contorno de Dirichlet. El caso θ> 0 todavía está abierto. Por eso también analizamos la convergencia de la única solución débil de la ecuación en el caso θ = 0 cuando enviamos el parámetro κ a cero. De hecho, conjeturamos que el perfil límite cuando κ → 0 es el que deberíamos obtener al tomar valores pequeños de θ> 0