A mixed virtual element method for the boussinesq problem on polygonal meshes

Abstract

In this work we introduce and analyze a mixed virtual element method (mixed-VEM) for the two-dimensional stationary Boussinesq problem. The continuous formulation is based on the introduction of a pseudostress tensor depending nonlinearly on the velocity, which allows to obtain an equivalent model in which the main unknowns are given by the aforementioned pseudostress tensor, the velocity and the temperature, whereas the pressure is computed via a postprocessing formula. In addition, an augmented approach together with a fixed point strategy is used to analyze the well-posedness of the resulting continuous formulation. Regarding the discrete problem, we follow the approach employed in a previous work dealing with the Navier-Stokes equations, and couple it with a VEM for the convection-diffiusion equation modelling the temperature. More precisely, we use a mixed-VEM for the scheme associated with the uid equations in such a way that the pseudostress and the velocity are approximated on virtual element subspaces of H(div) and H1, respectively, whereas a VEM is proposed to approximate the temperature on a virtual element subspace of H1. In this way, we make use of the L2-orthogonal projectors onto suitable polynomial spaces, which allows the explicit integration of the terms that appear in the bilinear and trilinear forms involved in the scheme for the uid equations. On the other hand, in order to manipulate the bilinear form associated to the heat equations, we define a suitable projector onto a space of polynomials to deal with the fact that the diffiusion tensor, which represents the thermal conductivity, is variable. Next, the corresponding solvability analysis is performed using again appropriate fixed-point arguments. Further, Strang-type estimates are applied to derive the a priori error estimates for the components of the virtual element solution as well as for the fully computable projections of them and the postprocessed pressure. The corresponding rates of convergence are also established. Finally, several numerical examples illustrating the performance of the mixed-VEM scheme and confirming these theoretical rates are presented.

En este trabajo presentamos y analizamos un método de elementos virtuales mixtos (VEM mixto) para el problema de Boussinesq estacionario bidimensional. La formulación continua se basa en la introducción de un tensor de pseudoesfuerzo dependiente no lineal de la velocidad, lo que permite obtener un modelo equivalente en el que las principales incógnitas vienen dadas por el tensor de pseudoesfuerzo antes mencionado, la velocidad y la temperatura, mientras que la presión se calcula mediante una fórmula de posprocesamiento. Además, se utiliza un enfoque aumentado junto con una estrategia de punto fijo para analizar la buena posición de la formulación continua resultante. Con respecto al problema discreto, seguimos el enfoque empleado en un trabajo anterior sobre las ecuaciones de Navier-Stokes y lo acoplamos con un VEM para la ecuación de convección-difusión que modela la temperatura. Más precisamente, usamos un VEM mixto para el esquema asociado con las ecuaciones uid de tal manera que el pseudoesfuerzo y la velocidad se aproximan en los subespacios de elementos virtuales de H (div) y H1, respectivamente, mientras que se propone un VEM para aproximar la temperatura en un subespacio de elementos virtuales de H1. De esta forma, utilizamos los proyectores L2-ortogonales sobre espacios polinomiales adecuados, lo que permite la integración explícita de los términos que aparecen en las formas bilineales y trilineales involucradas en el esquema de las ecuaciones uid. Por otro lado, para manipular la forma bilineal asociada a las ecuaciones de calor, definimos un proyector adecuado sobre un espacio de polinomios para lidiar con el hecho de que el tensor de difusión, que representa la conductividad térmica, es variable. A continuación, se realiza el análisis de solubilidad correspondiente utilizando nuevamente los argumentos de punto fijo apropiados. Además, se aplican estimaciones de tipo Strang para derivar las estimaciones de error a priori para los componentes de la solución del elemento virtual, así como para las proyecciones totalmente computables de los mismos y la presión posprocesada. También se establecen las correspondientes tasas de convergencia. Finalmente, se presentan varios ejemplos numéricos que ilustran el desempeño del esquema VEM mixto y que confirman estas tasas teóricas.