An Lp spaces-based mixed virtual element method for the two-dimensional Navier-Stokes equations

Abstract

In this paper we extend the utilization of the Banach spaces-based formulations, usually employed for solving diverse nonlinear problems in continuum mechanics via primal and mixed nite element methods, to the virtual element method (VEM) framework and its respective applications. More precisely, we propose and analyze an Lp spaces-based mixed virtual element method for a pseudostress-velocity formulation of the two-dimensional Navier-Stokes equations with Dirichlet boundary conditions. To this end, a dual-mixed approach determined by the introduction of a nonlinear tensor linking the usual pseudostress for the Stokes equations with the convective term, is employed. As a consequence, this new tensor, say , and the velocity u of the uid constitute the unknowns of the formulation, whereas the pressure is computed via a postprocessing formula. The simplicity of the resulting VEM scheme is re ected by the absence of augmented terms, on the contrary to previous works on this and related models, and by the incorporation in it of only the projector onto the piecewise polynomial tensors and the usual stabilizer depending on the degrees of freedom of the virtual element subspace approximating . In turn, the non-virtual but explicit subspace given by the piecewise polynomial vectors of degree k, is employed to approximate u. The corresponding solvability analysis is carried out by using appropriate xed-point arguments, along with the discrete versions of the Babuska-Brezzi theory and the Banach-Necas-Babuska theorem, both in subspaces of Banach spaces. A Strang-type lemma is applied to derive the a priori error estimates for the virtual element solution as well as for the fully computable approximation of , the postprocessed pressure, and a second postprocessed approximation of . Finally, several numerical results illustrating the performance of the mixed-VEM scheme and con rming the rates of convergence predicted by the theory, are reported.

En este trabajo extendemos la utilización de las formulaciones basadas en espacios de Banach, usualmente empleadas para resolver diversos problemas no lineales en mecánica continua a través de métodos de elementos primarios y mixtos, al marco del método de elementos virtuales (VEM) y sus respectivas aplicaciones. Más concretamente, proponemos y analizamos un método de elementos virtuales mixto basado en espacios Lp para una formulación pseudoestrés-velocidad de las ecuaciones bidimensionales de Navier-Stokes con condiciones de contorno de Dirichlet. Para ello, se emplea un enfoque dual-mixto determinado por la introducción de un tensor no lineal que vincula el pseudoesfuerzo habitual para las ecuaciones de Stokes con el término convectivo. En consecuencia, este nuevo tensor, digamos , y la velocidad u del uid constituyen las incógnitas de la formulación, mientras que la presión se calcula mediante una fórmula de postproceso. La simplicidad del esquema VEM resultante se refleja en la ausencia de términos aumentados, al contrario que en trabajos anteriores sobre este modelo y otros relacionados, y en la incorporación de sólo el proyector sobre los tensores polinómicos a trozos y el estabilizador habitual que depende de los grados de libertad del subespacio del elemento virtual que aproxima. A su vez, el subespacio no virtual pero explícito dado por los vectores polinómicos a trozos de grado k, se emplea para aproximar u. El análisis de solvencia correspondiente se lleva a cabo utilizando argumentos de punto xed apropiados, junto con las versiones discretas de la teoría de Babuska-Brezzi y el teorema de Banach-Necas-Babuska, ambos en subespacios de espacios de Banach. Se aplica un lema de tipo Strang para derivar las estimaciones de error a priori para la solución del elemento virtual, así como para la aproximación totalmente computable de , la presión postprocesada y una segunda aproximación postprocesada de . Por último, se presentan varios resultados numéricos que ilustran el rendimiento del esquema VEM mixto y confirman las tasas de convergencia predichas por la teoría.