A mixed virtual element method for a pseudostress-based formulation of linear elasticity

Abstract

In this paper we introduce and analyze a mixed virtual element method (mixed-VEM) for a pseudostress-displacement formulation of the linear elasticity problem with non homogeneous Dirichlet boundary conditions. We follow a previous work by some of the authors, and employ a mixed formulation that does not require symmetric tensor spaces in the finite element discretization. More precisely, the main unknowns here are given by the pseudostress and the displacement, whereas other physical quantities such as the stress, the strain tensor of small deformations, and the rotation, are computed through simple postprocessing formulae in terms of the pseudostress variable. We first recall the corresponding variational formulation, and then summarize the main mixed-VEM ingredients that are required for our discrete analysis. In particular, we utilize a well known local projector onto a suitable polynomial subspace to define a calculable version of our discrete bilinear form, whose continuous version requires information of the variables on the interior of each element. Next, we show that the global discrete bilinear form satisfies the hypotheses required by the Babuška–Brezzi theory. In this way, we conclude the well-posedness of our mixed-VEM scheme and derive the associated a priori error estimates for the virtual solutions as well as for the fully computable projections of them. Furthermore, we also introduce a second element-by-element postprocessing formula for the pseudostress, which yields an optimally convergent approximation of this unknown with respect to the broken H(div)-norm. In addition, this postprocessing formula can also be applied to the postprocessed stress tensor. Finally, several numerical results illustrating the good performance of the method and confirming the theoretical rates of convergence are presented.

En este artículo presentamos y analizamos un método de elementos virtuales mixtos (VEM mixto) para una formulación de pseudoesfuerzo-desplazamiento del problema de elasticidad lineal con condiciones de frontera de Dirichlet no homogéneas. Seguimos un trabajo previo de algunos de los autores y empleamos una formulación mixta que no requiere espacios tensoriales simétricos en la discretización de elementos finitos. Más precisamente, las principales incógnitas aquí vienen dadas por la pseudoesfuerzo y el desplazamiento, mientras que otras magnitudes físicas como la tensión, el tensor de deformación de pequeñas deformaciones y la rotación, se calculan mediante fórmulas simples de posprocesamiento en términos de la variable de pseudoesfuerzo. Primero recordamos la formulación variacional correspondiente y luego resumimos los principales ingredientes mixtos de VEM que se requieren para nuestro análisis discreto. En particular, utilizamos un proyector local bien conocido en un subespacio polinómico adecuado para definir una versión calculable de nuestra forma bilineal discreta, cuya versión continua requiere información de las variables en el interior de cada elemento. A continuación, mostramos que la forma bilineal discreta global satisface las hipótesis requeridas por la teoría de Babuška-Brezzi. De esta manera, concluimos la buena posición de nuestro esquema VEM mixto y derivamos las estimaciones de error a priori asociadas para las soluciones virtuales, así como para las proyecciones totalmente computables de las mismas. Además, también introducimos una segunda fórmula de posprocesamiento elemento por elemento para el pseudoesfuerzo, que produce una aproximación óptimamente convergente de esta incógnita con respecto a la norma H (div) rota. Además, esta fórmula de posprocesamiento también se puede aplicar al tensor de tensión posprocesado. Finalmente, se presentan varios resultados numéricos que ilustran el buen desempeño del método y que confirman las tasas teóricas de convergencia.