Some aspects on the computational implementation of diverse terms arising in mixed virtual element formulations

Abstract

In the present paper, we describe the computational implementation of some integral terms that arise from mixed virtual element methods (mixed-VEM) in twodimensional pseudostress-velocity formulations. The implementation presented here considers any polynomial degree k ≥ 0 in a natural way by building several local matrices of small size through the matrix multiplication and the Kronecker product. In particular, we apply the foregoing mentioned matrices to the Navier-Stokes equations with Dirichlet boundary conditions, whose mixed-VEM formulation was originally proposed and analyzed in a recent work using virtual element subspaces for H(div) and H1, simultaneously. In addition, an algorithm is proposed for the assembly of the associated global linear system for Newton’s iteration. Finally, we present a numerical example in order to illustrate the performance of the mixed-VEM scheme and confirm the expected theoretical convergence rates.

En el presente trabajo se describe la implementación computacional de algunos términos integrales que surgen de los métodos de elementos virtuales mixtos (mixed-VEM) en formulaciones de pseudoesfuerzo-velocidad bidimensionales. La implementación aquí presentada considera cualquier polinomio de grado k ≥ 0 de forma natural mediante la construcción de varias matrices locales de pequeño tamaño a través de la multiplicación de matrices y el producto de Kronecker. En particular, aplicamos las mencionadas matrices a las ecuaciones de Navier-Stokes con condiciones de contorno de Dirichlet, cuya formulación mixta-VEM fue originalmente propuesta y analizada en un trabajo reciente utilizando subespacios de elementos virtuales para H(div) y H1, simultáneamente. Además, se propone un algoritmo para el ensamblaje del sistema lineal global asociado para la iteración de Newton. Finalmente, presentamos un ejemplo numérico para ilustrar el rendimiento del esquema VEM mixto y confirmar las tasas de convergencia teóricas esperadas.