A RTk− Pk approximation for linear elasticity yielding a broken H (div) convergent postprocessed stress

Abstract

We present a non-standard mixed finite element method for the linear elasticity problem in Rn with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. More precisely, our approach is based on a simplified interpretation of the pseudostress–displacement formulation originally proposed in Arnold and Falk (1988), which does not require symmetric tensor spaces in the finite element discretization. We apply the classical Babuˇska–Brezzi theory to prove that the corresponding continuous and discrete schemes are well-posed. In particular, Raviart–Thomas spaces of order k ≥ 0 for the pseudostress and piecewise polynomials of degree ≤k for the displacement can be utilized. In addition, complementing the results in the aforementioned reference, we introduce a new postprocessing formula for the stress recovering the optimally convergent approximation of the broken H(div)-norm. Numerical results confirm our theoretical findings.

Presentamos un método de elementos finitos mixtos no estándar para el problema de elasticidad lineal en Rn con condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas. Más concretamente, nuestro enfoque se basa en una interpretación simplificada de la formulación pseudoesfuerzo-desplazamiento propuesta originalmente en Arnold y Falk (1988), que no requiere espacios tensoriales simétricos en la discretización por elementos finitos. Aplicamos la teoría clásica de Babuˇska-Brezzi para demostrar que los esquemas continuos y discretos correspondientes están bien planteados. En particular, se pueden utilizar espacios de Raviart-Thomas de orden k ≥ 0 para el pseudotensado y polinomios a trozos de grado ≤k para el desplazamiento. Además, complementando los resultados de la referencia mencionada, introducimos una nueva fórmula de postproceso para la tensión que recupera la aproximación óptimamente convergente de la norma H(div)rota. Los resultados numéricos confirman nuestras conclusiones teóricas.