A Priori and a Posteriori Error Analyses of an Augmented HDG Method for a Class of Quasi-Newtonian Stokes Flows

Abstract

In a recent work we developed a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for a class of nonlinear Stokes models arising in quasi-Newtonian fluids. The approach there uses the incompressibility condition to eliminate the pressure, sets the gradient of the velocity as an auxiliary unknown, and enriches the original formulation with convenient redundant equations, thus giving rise to an augmented scheme. However, the corresponding analysis, which makes use of a fixed point strategy that depends on a suitably chosen parameter, yields optimal rates of convergence for only two of the six resulting unknowns, whereas the reported numerical results, showing higher orders than predicted, support the conjecture that the a priori error estimates are not sharp. In the present paper, the main features of the aforementioned augmented formulation are maintained, but after introducing slight modifications of the finite element subspaces for the pseudostress and velocity, we are able to significantly improve our previous analyses and results. More precisely, on one hand we realize here that it suffices to choose the stabilization tensor as the identity times the meshsize, and hence neither fixed-point arguments nor related parameters are needed anymore to establish the well-posedness of the discrete scheme, and on the other hand we now prove optimally convergent approximations for all the unknowns. Furthermore, we develop a reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator, and propose the associated adaptive algorithm for our HDG approximation of the nonlinear model problem. Finally, several numerical results illustrating the performance of the method, confirming the theoretical properties of the estimator, and showing the expected behaviour of the adaptive refinements, are presented. © 2016, Springer Science+Business Media New York

En un trabajo reciente, desarrollamos un nuevo método de Galerkin discontinuo hibridable (HDG) para una clase de modelos de Stokes no lineales que surgen en fluidos cuasi-newtonianos. El enfoque allí usa la condición de incompresibilidad para eliminar la presión, establece el gradiente de la velocidad como una incógnita auxiliar y enriquece la formulación original con ecuaciones redundantes convenientes, lo que da lugar a un esquema aumentado. Sin embargo, el análisis correspondiente, que hace uso de una estrategia de punto fijo que depende de un parámetro elegido adecuadamente, arroja tasas óptimas de convergencia para solo dos de las seis incógnitas resultantes, mientras que los resultados numéricos informados, que muestran órdenes más altos que los previstos, respaldan la conjetura que las estimaciones de error a priori no son nítidas. En el presente trabajo, se mantienen las características principales de la formulación aumentada antes mencionada, pero después de introducir ligeras modificaciones de los subespacios de elementos finitos para el pseudoesfuerzo y la velocidad, podemos mejorar significativamente nuestros análisis y resultados anteriores. Más precisamente, por un lado, nos damos cuenta aquí de que es suficiente elegir el tensor de estabilización como la identidad multiplicada por el tamaño de la malla y, por lo tanto, ya no se necesitan argumentos de punto fijo ni parámetros relacionados para establecer la buena postura del esquema discreto, y por otro lado por otro lado, ahora demostramos aproximaciones óptimamente convergentes para todas las incógnitas. Además, desarrollamos un estimador de error a posteriori confiable y eficiente basado en residuos, y proponemos el algoritmo adaptativo asociado para nuestra aproximación HDG del problema del modelo no lineal. Finalmente, se presentan varios resultados numéricos que ilustran el desempeño del método, confirman las propiedades teóricas del estimador y muestran el comportamiento esperado de los refinamientos adaptativos. © 2016, Springer Science+Business Media Nueva York.