A mixed virtual element method for quasi-Newtonian stokes flows

Abstract

In this paper we introduce and analyze a virtual element method (VEM) for an augmented mixed variational formulation of a class of nonlinear Stokes models arising in quasi-Newtonian fluids. While the original unknowns are given by the pseudostress, the velocity, and the pressure, the latter is eliminated by using the incompressibility condition, and in order to handle the nonlinearity involved, the velocity gradient is set as an auxiliary one. In this way, and adding a redundant term arising from the constitutive equation relating the psdeudostress and the velocity, an augmented formulation showing a saddle point structure is obtained, whose well-posedness has been established previously by using known results from nonlinear functional analysis. Then, following the basic principles and ideas of the mixed- VEM approach, we introduce a Galerkin scheme employing generic virtual element subspaces and projectors satisfying suitable abstract conditions and derive the corresponding solvability analysis, along with the associated a priori error estimates for the virtual element solution as well as for the fully computable projection of it. Next, we provide two specific choices of subspaces and local projectors verifying the required hypotheses, one of them yielding an optimally convergent mixed- VEM for the fully nonlinear problem studied here, and the other one providing a new approach for the linear version of it, that is, for the Stokes problem. In addition, we are able to apply a second element-by-element postprocessing formula for the pseudostress, which yields an optimally convergent approximation of it with respect to the broken H(div)-norm. Finally, several numerical results illustrating the good performance of the method and confirming the theoretical rates of convergence are reported. © 2018 Society for Industrial and Applied Mathematics.

En este artículo presentamos y analizamos un método de elemento virtual (VEM) para una formulación variacional mixta aumentada de una clase de modelos de Stokes no lineales que surgen en fluidos cuasi-newtonianos. Mientras que las incógnitas originales están dadas por el pseudoesfuerzo, la velocidad y la presión, esta última se elimina usando la condición de incompresibilidad, y para manejar la no linealidad involucrada, el gradiente de velocidad se establece como auxiliar. De esta forma, y ​​añadiendo un término redundante que surge de la ecuación constitutiva que relaciona el psdeudoesfuerzo y la velocidad, se obtiene una formulación aumentada que muestra una estructura de punto de silla, cuya buena posición se ha establecido previamente utilizando resultados conocidos del análisis funcional no lineal. Luego, siguiendo los principios e ideas básicos del enfoque VEM mixto, presentamos un esquema de Galerkin que emplea subespacios de elementos virtuales genéricos y proyectores que satisfacen condiciones abstractas adecuadas y derivamos el análisis de solución correspondiente, junto con las estimaciones de error a priori asociadas para el elemento virtual. solución así como para la proyección totalmente computable de la misma. A continuación, proporcionamos dos opciones específicas de subespacios y proyectores locales que verifican las hipótesis requeridas, una de las cuales produce un VEM mixto óptimamente convergente para el problema totalmente no lineal estudiado aquí, y la otra proporciona un nuevo enfoque para la versión lineal del mismo. es decir, para el problema de Stokes. Además, podemos aplicar una segunda fórmula de posprocesamiento elemento por elemento para la pseudotensión, que produce una aproximación convergente óptima de la misma con respecto a la norma H(div) rota. Finalmente, se reportan varios resultados numéricos que ilustran el buen desempeño del método y confirman las tasas teóricas de convergencia. © 2018 Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas.