Analysis of an augmented pseudostress-based mixed formulation for a nonlinear Brinkman model of porous media flow

Abstract

In this paper we introduce and analyze an augmented mixed finite element method for the two-dimensional nonlinear Brinkman model of porous media flow with mixed boundary conditions. More precisely, we extend a previous approach for the respective linear model to the present nonlinear case, and employ a dual-mixed formulation in which the main unknowns are given by the gradient of the velocity and the pseudostress. In this way, and similarly as before, the original velocity and pressure unknowns are easily recovered through a simple postprocessing. In addition, since the Neumann boundary condition becomes essential, we impose it in a weak sense, which yields the introduction of the trace of the fluid velocity over the Neumann boundary as the associated Lagrange multiplier. We apply known results from nonlinear functional analysis to prove that the corresponding continuous and discrete schemes are well-posed. In particular, a feasible choice of finite element subspaces is given by Raviart-Thomas elements of order k >= 0 for the pseudostress, piecewise polynomials of degree <= k for the gradient of the velocity, and continuous piecewise polynomials of degree <= k + 1 for the Lagrange multiplier. We also derive a reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator for this problem. Finally, several numerical results illustrating the performance and the robustness of the method, confirming the theoretical properties of the estimator, and showing the behavior of the associated adaptive algorithm, are provided. (C) 2015 Elsevier B.V. All rights reserved.

En este artículo presentamos y analizamos un método de elementos finitos mixtos aumentados para el modelo bidimensional no lineal de Brinkman de flujo en medios porosos con condiciones de contorno mixtas. Más precisamente, extendemos un enfoque previo para el modelo lineal respectivo al presente caso no lineal, y empleamos una formulación mixta dual en la que las principales incógnitas están dadas por el gradiente de la velocidad y el pseudoesfuerzo. De esta manera, y de forma similar a como se hizo anteriormente, las incógnitas originales de velocidad y presión se recuperan fácilmente mediante un simple procesamiento posterior. Además, dado que la condición de frontera de Neumann se vuelve esencial, la imponemos en un sentido débil, lo que produce la introducción de la traza de la velocidad del fluido sobre la frontera de Neumann como el multiplicador de Lagrange asociado. Aplicamos resultados conocidos del análisis funcional no lineal para demostrar que los esquemas continuos y discretos correspondientes están bien planteados. En particular, una elección factible de subespacios de elementos finitos viene dada por elementos de Raviart-Thomas de orden k >= 0 para la pseudotensión, polinomios por partes de grado <= k para el gradiente de la velocidad y polinomios por partes continuos de grado <= k + 1 para el multiplicador de Lagrange. También derivamos un estimador de error a posteriori confiable y eficiente basado en residuos para este problema. Finalmente, se proporcionan varios resultados numéricos que ilustran el rendimiento y la robustez del método, confirmando las propiedades teóricas del estimador y mostrando el comportamiento del algoritmo adaptativo asociado. (C) 2015 Elsevier B.V. Todos los derechos reservados.