Método EBE de los elementos finitos para sistemas de gran tamaño y su aplicación en la Física Digital de Rocas

Abstract

El método de los elementos finitos (FEM) es una técnica numérica ampliamente utilizada en física e ingeniería, que aproxima soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en dominios arbitrarios. En general, el paso final de esta técnica consiste en la resolución de un sistema lineal de la forma Ax=b, en el que la matriz A es dispersa y cuyo ancho de banda (número de filas no nulas en la matriz) depende del soporte de las funciones de forma definidas en los elementos. Cuando este número de elementos es muy grande, inclusive las representaciones en estructuras de datos eficientes para matrices dispersas son capaces de consumir en su totalidad la memoria de un computador poderoso. Por tanto, en este artículo se describe el método EBE (Element by Element), un truco computacional diseñado para implementar el método FEM sin utilizar la representación explícita de esta matriz. Se describe también un contexto en el que es necesaria esta implementación, en el área de la petrofísica digital de rocas, para estimar las propiedades elásticas de una muestra de roca a partir de imágenes tomográficas.

The finite element method (FEM) is a numerical technique that estimates solutions of partial differential equations on arbitrary domains. It has been widely used to solve problems in Physics and Engineering. In general, the final step of this technique consists of a linear system of equations Ax=b in which the matrix A is sparse and its bandwidth depends on the finite element shape functions support. When the number of elements is large, even the efficient data structure sparse matrix representations can consume the entire computer memory. In this article, we describe a technique to solve these large-scale problems without explicitly representing this matrix. This computational trick is known as EBE (Element By Element). We also describe an application in which such kind of implementation is necessary, in the field of digital rock physics, to estimate the elastic coefficient of rock samples using micro-tomographic images