Analysis of an Augmented HDG Method for a Class of Quasi-Newtonian Stokes Flows

Abstract

In this paper we introduce and analyze a hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for numerically solving a class of nonlinear Stokes models arising in quasi-Newtonian fluids. Similarly as in previous papers dealing with the application of mixed finite element methods to these nonlinear models, we use the incompressibility condition to eliminate the pressure, and set the velocity gradient as an auxiliary unknown. In addition, we enrich the HDG formulation with two suitable augmented equations, which allows us to apply known results from nonlinear functional analysis, namely a nonlinear version of Babuka-Brezzi theory and the classical Banach fixed-point theorem, to prove that the discrete scheme is well-posed and derive the corresponding a priori error estimates. Then we discuss some general aspects concerning the computational implementation of the method, which show a significant reduction of the size of the linear systems involved in the Newton iterations. Finally, we provide several numerical results illustrating the good performance of the proposed scheme and confirming the optimal order of convergence provided by the HDG approximation.

En este artículo presentamos y analizamos un método de Galerkin discontinuo hibridable (HDG) para resolver numéricamente una clase de modelos de Stokes no lineales que surgen en fluidos cuasi-newtonianos. De manera similar, como en artículos anteriores que tratan sobre la aplicación de métodos mixtos de elementos finitos a estos modelos no lineales, usamos la condición de incompresibilidad para eliminar la presión y establecemos el gradiente de velocidad como una incógnita auxiliar. Además, enriquecemos la formulación HDG con dos ecuaciones aumentadas adecuadas, lo que nos permite aplicar los resultados conocidos del análisis funcional no lineal, a saber, una versión no lineal de la teoría de Babuka-Brezzi y el teorema clásico del punto fijo de Banach, para demostrar que el esquema discreto está bien planteada y derivar las correspondientes estimaciones de error a priori. Luego discutimos algunos aspectos generales relacionados con la implementación computacional del método, que muestran una reducción significativa del tamaño de los sistemas lineales involucrados en las iteraciones de Newton. Finalmente, proporcionamos varios resultados numéricos que ilustran el buen desempeño del esquema propuesto y confirman el orden óptimo de convergencia proporcionado por la aproximación HDG.