A posteriori error analysis of a mixed virtual element method for a nonlinear Brinkman model of porous media flow

Abstract

In this paper we present an a posteriori error analysis of a mixed-VEM discretization for a nonlinear Brinkman model of porous media flow, which has been proposed by the authors in a previous work. Therein, the system is formulated in terms of a pseudostress tensor and the velocity gradient, whereas the velocity and the pressure of the fluid are computed via postprocessing formulas. Furthermore, the well-posedness of the associated augmented formulation along with a priori error bounds for the discrete scheme also were established. We now propose reliable and efficient residualbased a posteriori error estimates for a computable approximation of the virtual solution associated to the aforementioned problem. The resulting error estimator is fully computable from the degrees of freedom of the solutions and applies on very general polygonal meshes. For the analysis we make use of a global inf–sup condition, Helmholtz decomposition, local approximation properties of interpolation operators and inverse inequalities together with localization arguments based on bubble functions. Finally, we provide some numerical results confirming the properties of our estimator and illustrating the good performance of the associated adaptive algorithm

En este artículo presentamos un análisis de error a posteriori de una discretización VEM mixta para un modelo de Brinkman no lineal de flujo de medios porosos, que ha sido propuesto por los autores en un trabajo anterior. Allí, el sistema se formula en términos de un tensor de pseudoesfuerzo y el gradiente de velocidad, mientras que la velocidad y la presión del fluido se calculan mediante fórmulas de posprocesamiento. Además, también se estableció la buena posición de la formulación aumentada asociada junto con los límites de error a priori para el esquema discreto. Proponemos ahora estimaciones de error a posteriori basadas en residuales confiables y eficientes para una aproximación computable de la solución virtual asociada al problema mencionado. El estimador de error resultante es totalmente calculable a partir de los grados de libertad de las soluciones y se aplica a mallas poligonales muy generales. Para el análisis utilizamos una condición inf-sup global, descomposición de Helmholtz, propiedades de aproximación local de operadores de interpolación y desigualdades inversas junto con argumentos de localización basados ​​en funciones de burbuja. Finalmente, proporcionamos algunos resultados numéricos que confirman las propiedades de nuestro estimador e ilustran el buen desempeño del algoritmo adaptativo asociado.