Global Magnetohydrodynamic Waves in Stably Stratified Rotating Layers

Abstract

The 2D shallow water approximation in magnetohydrodynamics is solved, numerically and analytically, for a perfectly conducting fluid on a rotating sphere with a basic state for the toroidal magnetic field: Bφ = B0 sin θ. The results are given in terms of the parameters ϵ = 4Ω^2R^2/gH0 and α^2 = v^2/4Ω^2R^2, where Ω is the rotation rate, R is the radius, g is the gravity, H0 is the height of the layer and v is the Alfvén speed. Five types of solution have been found: Magneto-inertial gravity waves (MIG), Kelvin waves, fast and slow magnetic Rossby waves and a slow anomalous mode travelling westward. A comprehensive numerical study describes the modes in a full range of parameters. As α → 0, the eigenfunctions are the Associated Legendre polynomials, if ϵ → 0. When ϵ→ ∞ the eigenfunctions describing MIG and Fast magnetic Rossby waves are defined by the parabolic cylinder functions for waves confined to the equator. The slow magnetic Rossby waves are not equatorially trapped. When α ≥ 0.5 there is a transition for magnetic Rossby waves. The slow and fast modes coalesce and an unstable mode emerges, but only when the azimuthal wavenumber m = 1. After this transition point (α = 0.5) the fast magnetic Rossby waves turn into subalfv´enic waves and tend to be trapped at the poles. As α → ∞, the MIG waves become equatorially trapped Alfv´en waves. These modes are always stable. The slow and fast magnetic Rossby waves (real and complex) are polar trapped with eigenfunctions described by Laguerre polynomials multiplied by a factor that gives the confinement. The antisymmetric configuration for the field Bφ = B0 sin θ cos θ, produces similar results to the previous case but the main difference is that the slow magnetic Rossby waves are absent. Also, magnetic Rossby waves become unstable for certain values of α and ϵ, then become real again by interacting with another mode and so on, weaving a net. On the other hand, when α is large, there is a critical layer which absorbs the MIG waves.

La aproximación 2D de aguas poco profundas en magnetohidrodinámica se resuelve, numérica y analíticamente, para un fluido perfectamente conductor en una esfera giratoria con un estado básico para el campo magnético toroidal: Bφ = B0 sen θ. Los resultados se dan en términos de los parámetros ϵ = 4Ω ^ 2R ^ 2 / gH0 y α ^ 2 = v ^ 2 / 4Ω ^ 2R ^ 2, donde Ω es la velocidad de rotación, R es el radio, g es la gravedad, H0 es la altura de la capa y v es la velocidad de Alfvén. Se han encontrado cinco tipos de soluciones: ondas de gravedad magneto-inerciales (MIG), ondas de Kelvin, ondas de Rossby magnéticas rápidas y lentas y un modo anómalo lento que viaja hacia el oeste. Un estudio numérico completo describe los modos en una amplia gama de parámetros. Como α → 0, las funciones propias son los polinomios de Legendre asociados, si ϵ → 0. Cuando ϵ → ∞, las funciones propias que describen las ondas MIG y magnéticas rápidas de Rossby están definidas por las funciones cilíndricas parabólicas para ondas confinadas al ecuador. Las lentas ondas magnéticas de Rossby no están atrapadas ecuatorialmente. Cuando α ≥ 0.5 hay una transición para las ondas magnéticas de Rossby. Los modos lento y rápido se fusionan y surge un modo inestable, pero solo cuando el número de onda azimutal m = 1. Después de este punto de transición (α = 0,5), las ondas magnéticas rápidas de Rossby se convierten en ondas subalfvénicas y tienden a quedar atrapadas en los polos. . Cuando α → ∞, las ondas MIG se convierten en ondas Alfv´en atrapadas ecuatoriamente. Estos modos siempre son estables. Las ondas magnéticas lentas y rápidas de Rossby (reales y complejas) son polares atrapadas con funciones propias descritas por polinomios de Laguerre multiplicadas por un factor que da el confinamiento. La configuración antisimétrica para el campo Bφ = B0 sen θ cos θ, produce resultados similares al caso anterior pero la principal diferencia es que las ondas magnéticas lentas de Rossby están ausentes. Además, las ondas magnéticas de Rossby se vuelven inestables para ciertos valores de α y ϵ, luego se vuelven reales nuevamente al interactuar con otro modo y así sucesivamente, tejiendo una red. Por otro lado, cuando α es grande, hay una capa crítica que absorbe las ondas MIG.