New Banach spaces-based fully-mixed finite element methods for pseudostress-assisted diffusion problems

Abstract

In this paper we propose and analyze Banach spaces-based fully-mixed approaches yielding new finite element methods for numerically solving the coupled partial differential equations describing the pseudostress-assisted diffusion of a solute into an elastic material. Two mixed formulations employing the diffusive flux as an additional variable are introduced for the diffusion equation, and the concentration gradient is considered as an auxiliary unknown of the second one of them. The resulting coupled systems are rewritten as equivalent fixed point operator equations, so that the respective unique solvabilities are proved by applying the classical Banach theorem along with the Babuška-Brezzi theory. The nonlinear dependency on the elastic variables of the diffusion coefficient and its source term, as well as the nonlinear dependency on the concentration of the elastic source term, suggest, for appropriate continuous and discrete analyses, that the unknowns be sought in suitable Lebesgue spaces. The associated Galerkin schemes are addressed similarly, and the Brouwer theorem yields the existence of discrete solutions. A priori error estimates are derived for both approaches, and rates of convergence for specific finite element subspaces satisfying the required discrete inf-sup conditions, are established in 2D. Finally, several numerical examples illustrating the performance of the two methods and confirming the theoretical findings, are reported.En este artículo, proponemos y analizamos enfoques totalmente mixtos basados ​​en espacios de Banach, que generan nuevos métodos de elementos finitos para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que describen la difusión asistida por pseudotensión de un soluto en un material elástico. Se introducen dos formulaciones mixtas que emplean el flujo difusivo como variable adicional para la ecuación de difusión, y el gradiente de concentración se considera como incógnita auxiliar de la segunda. Los sistemas acoplados resultantes se reescriben como ecuaciones equivalentes con operadores de punto fijo, de modo que sus respectivas resolubilidades únicas se demuestran aplicando el teorema de Banach clásico junto con la teoría de Babuška-Brezzi. La dependencia no lineal de las variables elásticas del coeficiente de difusión y su término fuente, así como la dependencia no lineal de la concentración del término fuente elástico, sugieren, para análisis continuos y discretos apropiados, que las incógnitas se busquen en espacios de Lebesgue adecuados. Los esquemas de Galerkin asociados se abordan de forma similar, y el teorema de Brouwer proporciona la existencia de soluciones discretas. Se derivan estimaciones de error a priori para ambos enfoques y se establecen en 2D las tasas de convergencia para subespacios de elementos finitos específicos que satisfacen las condiciones discretas inf-sup requeridas. Finalmente, se presentan varios ejemplos numéricos que ilustran el rendimiento de ambos métodos y confirman los hallazgos teóricos.