A mixed virtual element method for the Brinkman problem

Abstract

In this paper, we introduce and analyze a mixed virtual element method (mixed-VEM) for the two-dimensional Brinkman model of porous media flow with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. More precisely, we employ a dual-mixed formulation in which the only unknown is given by the pseudostress, whereas the velocity and pressure are computed via postprocessing formulae. We first recall the corresponding variational formulation, and then summarize the main mixed-VEM ingredients that are required for our discrete analysis. In particular, in order to define a calculable discrete bilinear form, whose continuous version involves deviatoric tensors, we propose two well-known alternatives for the local projector onto a suitable polynomial subspace, which allows the explicit integration of these terms. Next, we show that the global discrete bilinear form satisfies the hypotheses required by the Lax–Milgram lemma. In this way, we conclude the well-posedness of our mixed-VEM scheme and derive the associated a priori error estimates for the virtual solution as well as for the fully computable projection of it. Furthermore, we also introduce a second element-by-element postprocessing formula for the pseudostress, which yields an optimally convergent approximation of this unknown with respect to the broken ℍ(div)-norm. Finally, several numerical results illustrating the good performance of the method and confirming the theoretical rates of convergence are presented.

En este artículo, presentamos y analizamos un método de elemento virtual mixto (VEM mixto) para el modelo bidimensional Brinkman de flujo de medios porosos con condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas. Más precisamente, empleamos una formulación de doble mezcla en la que el pseudoesfuerzo da lo único desconocido, mientras que la velocidad y la presión se calculan mediante fórmulas de postprocesamiento. Primero recordamos la formulación variacional correspondiente y luego resumimos los principales ingredientes mixtos de VEM que se requieren para nuestro análisis discreto. En particular, para definir una forma bilineal discreta calculable, cuya versión continua involucra tensores desviadores, proponemos dos alternativas bien conocidas para el proyector local en un subespacio polinomial adecuado, que permite la integración explícita de estos términos. A continuación, mostramos que la forma bilineal discreta global satisface las hipótesis requeridas por el lema de Lax-Milgram. De esta manera, concluimos la buena posición de nuestro esquema de VEM mixto y derivamos las estimaciones de error a priori asociadas para la solución virtual, así como para la proyección totalmente computable de la misma. Además, también presentamos una segunda fórmula de posprocesamiento elemento por elemento para el pseudoesfuerzo, que produce una aproximación óptimamente convergente de esta incógnita con respecto a la forma broken (div) rota. Finalmente, se presentan varios resultados numéricos que ilustran el buen desempeño del método y confirman las tasas teóricas de convergencia.