Escuela de Matemática

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A mixed virtual element method for a pseudostress-based formulation of linear elasticity
(Elsevier B.V., 2019) Cáceres, Ernesto; Gatica, Gabriel N.; Sequeira, Filander
In this paper we introduce and analyze a mixed virtual element method (mixed-VEM) for a pseudostress-displacement formulation of the linear elasticity problem with non homogeneous Dirichlet boundary conditions. We follow a previous work by some of the authors, and employ a mixed formulation that does not require symmetric tensor spaces in the finite element discretization. More precisely, the main unknowns here are given by the pseudostress and the displacement, whereas other physical quantities such as the stress, the strain tensor of small deformations, and the rotation, are computed through simple postprocessing formulae in terms of the pseudostress variable. We first recall the corresponding variational formulation, and then summarize the main mixed-VEM ingredients that are required for our discrete analysis. In particular, we utilize a well known local projector onto a suitable polynomial subspace to define a calculable version of our discrete bilinear form, whose continuous version requires information of the variables on the interior of each element. Next, we show that the global discrete bilinear form satisfies the hypotheses required by the Babuška–Brezzi theory. In this way, we conclude the well-posedness of our mixed-VEM scheme and derive the associated a priori error estimates for the virtual solutions as well as for the fully computable projections of them. Furthermore, we also introduce a second element-by-element postprocessing formula for the pseudostress, which yields an optimally convergent approximation of this unknown with respect to the broken H(div)-norm. In addition, this postprocessing formula can also be applied to the postprocessed stress tensor. Finally, several numerical results illustrating the good performance of the method and confirming the theoretical rates of convergence are presented.
A mixed virtual element method for quasi-Newtonian stokes flows
(SIAM, 2018) CACERES, ERNESTO; Gatica, Gabriel; Sequeira, Filander
In this paper we introduce and analyze a virtual element method (VEM) for an augmented mixed variational formulation of a class of nonlinear Stokes models arising in quasi-Newtonian fluids. While the original unknowns are given by the pseudostress, the velocity, and the pressure, the latter is eliminated by using the incompressibility condition, and in order to handle the nonlinearity involved, the velocity gradient is set as an auxiliary one. In this way, and adding a redundant term arising from the constitutive equation relating the psdeudostress and the velocity, an augmented formulation showing a saddle point structure is obtained, whose well-posedness has been established previously by using known results from nonlinear functional analysis. Then, following the basic principles and ideas of the mixed- VEM approach, we introduce a Galerkin scheme employing generic virtual element subspaces and projectors satisfying suitable abstract conditions and derive the corresponding solvability analysis, along with the associated a priori error estimates for the virtual element solution as well as for the fully computable projection of it. Next, we provide two specific choices of subspaces and local projectors verifying the required hypotheses, one of them yielding an optimally convergent mixed- VEM for the fully nonlinear problem studied here, and the other one providing a new approach for the linear version of it, that is, for the Stokes problem. In addition, we are able to apply a second element-by-element postprocessing formula for the pseudostress, which yields an optimally convergent approximation of it with respect to the broken H(div)-norm. Finally, several numerical results illustrating the good performance of the method and confirming the theoretical rates of convergence are reported. © 2018 Society for Industrial and Applied Mathematics.
A mixed virtual element method for the boussinesq problem on polygonal meshes
(Global Science Press, 2021) Gatica, Gabriel; Munar Benitez, Edgar Mauricio; Sequeira, Filander
In this work we introduce and analyze a mixed virtual element method (mixed-VEM) for the two-dimensional stationary Boussinesq problem. The continuous formulation is based on the introduction of a pseudostress tensor depending nonlinearly on the velocity, which allows to obtain an equivalent model in which the main unknowns are given by the aforementioned pseudostress tensor, the velocity and the temperature, whereas the pressure is computed via a postprocessing formula. In addition, an augmented approach together with a fixed point strategy is used to analyze the well-posedness of the resulting continuous formulation. Regarding the discrete problem, we follow the approach employed in a previous work dealing with the Navier-Stokes equations, and couple it with a VEM for the convection-diffiusion equation modelling the temperature. More precisely, we use a mixed-VEM for the scheme associated with the uid equations in such a way that the pseudostress and the velocity are approximated on virtual element subspaces of H(div) and H1, respectively, whereas a VEM is proposed to approximate the temperature on a virtual element subspace of H1. In this way, we make use of the L2-orthogonal projectors onto suitable polynomial spaces, which allows the explicit integration of the terms that appear in the bilinear and trilinear forms involved in the scheme for the uid equations. On the other hand, in order to manipulate the bilinear form associated to the heat equations, we define a suitable projector onto a space of polynomials to deal with the fact that the diffiusion tensor, which represents the thermal conductivity, is variable. Next, the corresponding solvability analysis is performed using again appropriate fixed-point arguments. Further, Strang-type estimates are applied to derive the a priori error estimates for the components of the virtual element solution as well as for the fully computable projections of them and the postprocessed pressure. The corresponding rates of convergence are also established. Finally, several numerical examples illustrating the performance of the mixed-VEM scheme and confirming these theoretical rates are presented.
A posteriori error analysis of a mixed virtual element method for a nonlinear Brinkman model of porous media flow
(Elsevier Ltd, 2020-06-25) Munar, Mauricio; Sequeira, Filander
In this paper we present an a posteriori error analysis of a mixed-VEM discretization for a nonlinear Brinkman model of porous media flow, which has been proposed by the authors in a previous work. Therein, the system is formulated in terms of a pseudostress tensor and the velocity gradient, whereas the velocity and the pressure of the fluid are computed via postprocessing formulas. Furthermore, the well-posedness of the associated augmented formulation along with a priori error bounds for the discrete scheme also were established. We now propose reliable and efficient residualbased a posteriori error estimates for a computable approximation of the virtual solution associated to the aforementioned problem. The resulting error estimator is fully computable from the degrees of freedom of the solutions and applies on very general polygonal meshes. For the analysis we make use of a global inf–sup condition, Helmholtz decomposition, local approximation properties of interpolation operators and inverse inequalities together with localization arguments based on bubble functions. Finally, we provide some numerical results confirming the properties of our estimator and illustrating the good performance of the associated adaptive algorithm
A Priori and a Posteriori Error Analyses of an Augmented HDG Method for a Class of Quasi-Newtonian Stokes Flows
(Springer, 2016-12) Gatica, Gabriel; Sequeira, Filander
In a recent work we developed a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for a class of nonlinear Stokes models arising in quasi-Newtonian fluids. The approach there uses the incompressibility condition to eliminate the pressure, sets the gradient of the velocity as an auxiliary unknown, and enriches the original formulation with convenient redundant equations, thus giving rise to an augmented scheme. However, the corresponding analysis, which makes use of a fixed point strategy that depends on a suitably chosen parameter, yields optimal rates of convergence for only two of the six resulting unknowns, whereas the reported numerical results, showing higher orders than predicted, support the conjecture that the a priori error estimates are not sharp. In the present paper, the main features of the aforementioned augmented formulation are maintained, but after introducing slight modifications of the finite element subspaces for the pseudostress and velocity, we are able to significantly improve our previous analyses and results. More precisely, on one hand we realize here that it suffices to choose the stabilization tensor as the identity times the meshsize, and hence neither fixed-point arguments nor related parameters are needed anymore to establish the well-posedness of the discrete scheme, and on the other hand we now prove optimally convergent approximations for all the unknowns. Furthermore, we develop a reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator, and propose the associated adaptive algorithm for our HDG approximation of the nonlinear model problem. Finally, several numerical results illustrating the performance of the method, confirming the theoretical properties of the estimator, and showing the expected behaviour of the adaptive refinements, are presented. © 2016, Springer Science+Business Media New York
A priori and a posteriori error analyses of an HDG method for the Brinkman problem
(Elsevier, 2018-01-15) Gatica, Luis; Sequeira, Filánder
In this paper we introduce and analyze a hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for the linear Brinkman model of porous media flow in two and three dimensions and with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. We consider a fully-mixed formulation in which the main unknowns are given by the pseudostress, the velocity and the trace of the velocity, whereas the pressure is easily recovered through a simple postprocessing. We show that the corresponding continuous and discrete schemes are well-posed. In particular, we use the projection-based error analysis in order to derive a priori error estimates. Furthermore, we develop a reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator, and propose the associated adaptive algorithm for our HDG approximation. Finally, several numerical results illustrating the performance of the method, confirming the theoretical properties of the estimator and showing the expected behavior of the adaptive refinements are presented. © 2017 Elsevier Ltd
A RTk - P-k approximation for linear elasticity yielding a broken H(div) convergent postprocessed stress
(Universidad Nacional, Costa Rica, 2015) Gatica, Gabriel N.; Gatica, Luis F.; Sequeira, Filander
We present a non-standard mixed finite element method for the linear elasticity problem in R-n with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. More precisely, our approach is based on a simplified interpretation of the pseudostress displacement formulation originally proposed in Arnold and Falk (1988), which does not require symmetric tensor spaces in the finite element discretization. We apply the classical Babuska-Brezzi theory to prove that the corresponding continuous and discrete schemes are well-posed. In particular, Raviart-Thomas spaces of order k >= 0 for the pseudostress and piecewise polynomials of degree <= k for the displacement can be utilized. In addition, complementing the results in the aforementioned reference, we introduce a new postprocessing formula for the stress recovering the optimally convergent approximation of the broken H(div)-norm. Numerical results confirm our theoretical findings. (C) 2015 Elsevier Ltd. All rights reserved.
Actitud del docente de educación secundaria ante la historia de las matemáticas y su implementación como recurso didáctico en las regiones educativas Heredia y San José Central
(Universidad Nacional (Costa Rica), 2020) Álvarez Carranza, Adriana de los Ángeles; Navarro Castillo, Leonel David; Alfaro Arce, Ana Lucía
Describe la actitud, la formación y el uso de la historia de las matemáticas como recurso didáctico que manifiestan los docentes en educación secundaria de las regiones educativas Heredia y San José Central. La investigación sigue un enfoque cuantitativo de tipo descriptivo.
Analysis of an augmented pseudostress-based mixed formulation for a nonlinear Brinkman model of porous media flow
(Elsevier, 2015) Gatica, Gabriel; Gatica, Luis; Sequeira, Filander
In this paper we introduce and analyze an augmented mixed finite element method for the two-dimensional nonlinear Brinkman model of porous media flow with mixed boundary conditions. More precisely, we extend a previous approach for the respective linear model to the present nonlinear case, and employ a dual-mixed formulation in which the main unknowns are given by the gradient of the velocity and the pseudostress. In this way, and similarly as before, the original velocity and pressure unknowns are easily recovered through a simple postprocessing. In addition, since the Neumann boundary condition becomes essential, we impose it in a weak sense, which yields the introduction of the trace of the fluid velocity over the Neumann boundary as the associated Lagrange multiplier. We apply known results from nonlinear functional analysis to prove that the corresponding continuous and discrete schemes are well-posed. In particular, a feasible choice of finite element subspaces is given by Raviart-Thomas elements of order k >= 0 for the pseudostress, piecewise polynomials of degree <= k for the gradient of the velocity, and continuous piecewise polynomials of degree <= k + 1 for the Lagrange multiplier. We also derive a reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator for this problem. Finally, several numerical results illustrating the performance and the robustness of the method, confirming the theoretical properties of the estimator, and showing the behavior of the associated adaptive algorithm, are provided. (C) 2015 Elsevier B.V. All rights reserved.
Capacidad de análisis de prácticas docentes en futuros profesores de matemáticas de secundaria en la carrera bachillerato y licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional
(Universidad Nacional (Costa Rica), 2019-12-04) Araya Román, Daniela; Morales López, Yuri
El objetivo principal de esta investigación fue analizar la incidencia que tiene el estudio básico de algunas nociones teóricas elementales del enfoque Ontosemiótico, en el desarrollo de la capacidad de reflexión de las prácticas docentes en los futuros profesores de matemática de quinto nivel de la carrera de Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional. La investigación se realizó en el marco del paradigma cualitativo y es del tipo estudio de caso. Este se realizó en el grupo de estudiantes de la asignatura Seminario de Investigación Dirigida II durante el segundo semestre de 2018 (7 participantes). El estudio se abordó mediante tres fases: los participantes realizaron una reflexión sobre la práctica de aula observada en una secuencia de video sin apoyo; luego, se desarrolló una actividad formativa sobre algunas nociones teóricas del EOS y, posteriormente, se realizó una nueva práctica reflexiva sobre la continuación de una secuencia de video El análisis de los datos se enfocó en la identificación y comparación de elementos referentes a distintos indicadores de idoneidad presentes en las dos reflexiones realizadas por los participantes. Los resultados de la investigación muestran que, luego de estudiar algunas nociones teóricas del EOS y contar con una guía para realizar una práctica reflexiva, los participantes logran identificar una mayor cantidad de elementos asociados a los indicadores de idoneidad, exponen ideas más claras y ordenadas, además realizan justificaciones sobre sus juicios de valor. Se concluye que, en la primera fase los participantes no contaban con las herramientas necesarias para realizar una práctica reflexiva, mientras que, en la segunda reflexión, hay evidencia sustancial para asegurar que, con el uso de una guía basada en los criterios de idoneidad del enfoque ontosemiótico se favorece considerablemente el ejercicio de reflexión de la práctica educativa, pues los estudiantes logran organizar sus ideas y prestan atención a una mayor cantidad de elementos de interés en educación matemática.
Caracterización, mediante el empleo del EOS, de elementos que futuros docentes de matemáticas consideran en la planificación, ejecución y reformulación de una clase de geometría para secundaria
(Universidad Nacional, Costa Rica, 2023) Duarte Abarca, Karolayn; Quesada Varela, Darcy; López Morales, Yuri
Caracterizar la planificación, ejecución y reformulación de una clase de geometría para secundaria, realizada por futuros docentes de matemáticas, con la estrategia Microteaching Lesson Study, utilizando los criterios de idoneidad del enfoque ontosemiótico como organizadores de análisis didáctico en el curso MAC 414 Didáctica de la Geometría de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional BLEM-2017.
Cátedra Ciudadanía y formación de profesores de matemáticas
(Cátedras de Integración CAB-AUALCPI, 2016) Giménez Rodríguez, Joaquín; Font, Vicenç; Vanegas Muñoz, Yuly Marsela; Rubio, Norma; Letelier, Patricio; Díaz Quezada, María Verónica; Morales-López, Yuri; Alpízar Vargas, Marianela; Alfaro Arce, Ana Lucía; Larios Osorio, Víctor; Pochulú, Marcel
Se presenta un estudio basado en el diseño, sobre una propuesta de un ciclo de tareas profesionales de formación de profesores de matemáticas, que pretende el desarrollo de la competencia llamada «aprender a formar en ciudadanía a través de las matemáticas». Se justifican los elementos clave del diseño del ciclo de formación, que se desarrolla en España, así como en diversas presentaciones en Latinoamérica. Los futuros docentes mejoran en el análisis didáctico a partir de la reflexión sobre su propia práctica e incorporan aspectos de la ciudadanía, básicamente en su análisis sobre la contextualización y el pensamiento crítico. Si bien se realiza una reflexión seria sobre las matemáticas se muestran pocos avances en cuanto a las implicaciones de futuro para una ciudadanía democrática.
La competencia docente “Mirada profesional” de seis profesores de matemática en formación inicial de la Universidad Nacional, desde la descripción de los conocimientos que manifiestan cuando observan situaciones de enseñanza-aprendizaje relacionadas con los conceptos básicos de función
(Universidad Nacional (Costa Rica), 2021) Cordero Guerrero, Aarón Gabriel; Espinoza Gonzáles, Jonathan
La presente investigación tuvo como principal objetivo analizar la competencia docente “Mirada profesional” de seis profesores de matemática en formación inicial de la Universidad Nacional, a partir de la descripción de los conocimientos que manifiestan cuando miran situaciones de enseñanza relacionadas con los conceptos básicos de función. En el Capítulo I se muestra el planteamiento de la investigación, enfatizando en aspectos preliminares como lo es el problema de investigación, justificación y planteamiento de objetivos que focalizan el proceso investigativo. En el Capítulo II se realizó una revisión teórica y adopción de conceptos vinculados a la investigación, destacando principalmente estudios relacionados al Modelo del Conocimiento Especializado del Profesor de Matemática (Carrillo, Contreras, Climent, Escudero-Avila, Flores-Medrano y Montes, 2014), así como investigaciones sobre la Competencia docente Mirada profesional (Guerra, 2009), (Fortuny y Rodríguez, 2012), (Jacobs, Lamb y Philipp, 2010), (Llinares, 2013). Por su parte, el Capítulo III muestra la caracterización del estudio, evidenciando el tipo de investigación llevado a cabo, los participantes quienes facilitaran la información pertinente para el estudio por medio de narrativas. Esta información se analizó desde la base teórica de la competencia docente Mirada profesional, apoyado del Modelo del Conocimiento Especializado del Profesor de Matemática, y por medio de un instrumento elaborado en el proyecto SIA 0110-18 de la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional. El Capítulo IV presenta los resultados de la investigación, organizados por participantes, en los cuales se muestra su respectiva caracterización y los hallazgos de los conocimientos vinculados al Modelo del Conocimiento Especializado del Profesor de Matemática presentes en las narrativas. Finalmente, el Capítulo V presenta principalmente los hallazgos relacionados a los objetivos planteados en la investigación en su respectivo orden, además se aportan algunas recomendaciones a distintas instancias vinculadas a la docencia y formación de profesores en Costa Rica.
Computer simulation of NMR logging
(Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., 2019) Benavides, Francisco
One of the main purposes of scientific computing is to reproduce real laboratory or "in-situ" experiments, using numerical and computational models. Nuclear magnetic resonance (NMR) has been used to characterize rock's porous formations in oil reservoirs, in laboratory tests and field. Recently, these experiments can be reproduced in the computer, using a precise model of the porous media given by micro-tomographic images of the rock sample. The NMR simulated experiments have some advantages over the real experiment, due to their efficiency and lower costs; but they can also provide a better understanding of the physical phenomenon associated to an NMR realization. In this paper, a case of this process is described: Real laboratory experiments are compared with simulated ones, and this comparison is used to improve computer simulation parameters in order to provide a better match to laboratory results. This can lead to better estimates of petrophysical deliverables and to the improvement of the computer model precision. © 2019 IEEE.
Elementos de inferencia estadística con R
(Editorial Universidad Nacional, 2022) Zamora Araya, José Andrey; Aguilar Fernández, Eduardo
El presente documento tiene por objetivo mostrar el uso de comandos básicos de R para el abordaje de temas relacionados con la Estadística Inferencial. El material está desarrollado con n de brindar apoyo a estudiantes y docentes en el manejo de temáticas relacionadas con la disciplina. Además, puede ser de utilidad para otras personas que requieran de textos de consulta sobre el conocimiento de determinados aspectos que comprende la Estadística Inferencial. Para una mejor comprensión del texto es importante tener conocimientos básicos de R relacionados con el uso de paquetes, vectores, funciones, bases de datos, cálculo de medidas estadísticas, as como en la utilización de operadores matemáticos. Ejemplos del uso de estos objetos pueden observarse en Aguilar y Zamora (2020). También es necesario tener conocimiento de temas de Estadística Descriptiva as como de conceptos, axiomas y teoremas fundamentales de la teoría de Probabilidad Clásica.
Errores matemáticos en el área de álgebra básica que manifiestan estudiantes del curso Matemática Fundamental, de la carrera Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional
(Universidad Nacional (Costa Rica), 2021-05-05) Parra Rodríguez, Emanuelle; Alpízar Vargas, Marianela
Analiza los errores matemáticos manifestados por estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental, de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica, cuando resuelven tareas que involucran la simplificación de expresiones algebraicas durante el año académico 2018, para el establecimiento de indicadores de interpretación y previsión de errores matemáticos.
Introducción a la estadística descriptiva con R
(Editorial Universidad Nacional, 2020) Aguilar Fernández, Eduardo; Zamora Araya, José Andrey
El presente documento tiene por objetivo ofrecer a todas aquellas personas que dan sus primeros pasos en el lenguaje R, un primer acercamiento al entorno mediante la ejecuci on de comandos b asicos. Si bien es cierto, el p ublico meta est a representado en su mayor a por estudiantes de cursos donde se aborden temas de Estad stica Descriptiva, tambi en puede ser de utilidad para personas con mayor conocimiento como fuente de consulta, as como apoyo al personal docente que desee impartir sus clases utilizando esta herramienta. La obra est a constituida por cinco cap tulos. El primero de ellos trata sobre las principales funciones para el manejo de paquetes y datos, de tal forma que se introduce poco a poco a la persona lectora en el manejo de comandos b asicos para realizar operaciones habituales cuando se trabaja con vectores, matrices y bases de datos en general.
Prácticas metodológicas y evaluativas empleadas por los docentes de primaria en un circuito de una Dirección Regional Educativa de Guanacaste, para la enseñanza de las matemáticas y su relación con los lineamientos expuestos en los programas de estudio del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica
(Universidad Nacional (Costa Rica), 2020) Alvarado Vargas, Marilyn; Vargas Mora, Manuel Alejandro; Gamboa Araya, Ronny
Analiza las prácticas metodológicas y evaluativas empleadas por los docentes de primaria para la enseñanza de las matemáticas, en un circuito de una Dirección Regional Educativa de Guanacaste, y su relación con los lineamientos expuestos en los programas de estudios vigentes del MEP.
Propuesta educativa virtual para el aprendizaje del tema sólidos de revolución en el curso MAT003 Cálculo II impartido en el Campus Omar Dengo de la Universidad Nacional
(Universidad Nacional (Costa Rica), 2022) Cascante Víquez, Luis Diego; Delgado Navarro, Fabiola; Ramírez Jiménez, Jeremías
Analiza el efecto en el rendimiento académico de los estudiantes del curso MAT003 Cálculo II, de la implementacion de una propuesta educativa virtual para el aprendizaje del tema de sólidos de revolución, en el Campus Omar Dengo de la Universidad Nacional, Costa Rica. Para la investigación se tomaron estudiantes en el curso MAT003 Cálculo II en el II ciclo del año 2020; con una cantidad de estudiantes matriculados de 184, de ellos participaron 52 estudiantes conformados en dos grupos. Los alumnos pertenecen a las carreras de Química Industrial, Bioprocesos, Economía, Topografía y Gestion Ambiental del campus Omar Dengo de la Universidad Nacional de Costa Rica. La investigacion es cuantitativa y experimental de tipo cuasi experimental. Para recolectar los datos, se aplicaron dos cuestionarios, uno en la primera semana lectiva para el grupo experimental y de control; y otro despues de la prueba del segundo examen parcial.

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